2026학년도 대학수학능력시험 문제지
수학 영역

4. 함수 f(x)={3x−2(x<1)x2−3x+a(x≥1)\displaystyle f(x) = \begin{cases} 3x-2 & (x < 1) \\ x^2-3x+a & (x \ge 1) \end{cases} 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 aa의 값은? [3점]

① 11② 22③ 33④ 44⑤ 55
주요 개념
  • 함수의 연속성: x=ax=a에서 연속이면 lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)
  • 다항함수의 연속: 모든 다항함수는 실수 전체에서 연속임
  • 경계점에서의 연결: 분절된 함수의 경계 x=1x=1에서 좌우 극한값이 일치해야 함
풀이 공간

WORKSPACE

함수 f(x)f(x)가 실수 전체의 집합에서 연속이려면 경계점 x=1x=1에서 연속이어야 한다.

즉, x=1x=1에서의 좌극한과 우극한(함숫값)이 일치해야 하므로
lim⁡x→1−f(x)=lim⁡x→1−(3x−2)=3(1)−2=1\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3x-2) = 3(1)-2 = 1
lim⁡x→1+f(x)=f(1)=12−3(1)+a=a−2\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 1^2 - 3(1) + a = a - 2
연속 조건에 의해 두 값이 같아야 하므로
1=a−21 = a - 2
따라서 구하고자 하는 상수 aa의 값은
a=3a = 3

논리적 요약 및 정답

x=1x=1에서의 좌극한과 우극한이 일치를 이용하여 미지수 aa를 구함.
불연속 가능성이 있는 경계점에서 함숫값의 일치를 통해 질서를 확립함.

정답: ③