2026학년도 대학수학능력시험 문제지
수학 영역

6. 1보다 큰 두 실수 a,ba, b 가 log⁡ab=3,log⁡3ba=12\log_{a}b=3, \log_{3}\frac{b}{a}=\frac{1}{2} 을 만족시킬 때, log⁡9ab\log_{9}ab 의 값은? [3점]

① 38\frac{3}{8}② 12\frac{1}{2}③ 58\frac{5}{8}④ 34\frac{3}{4}⑤ 78\frac{7}{8}
주요 개념
  • 로그의 정의: log⁡ab=x  ⟺  b=ax\log_{a}b=x \iff b=a^x
  • 로그의 성질: log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay\log_{a}\frac{x}{y} = \log_{a}x - \log_{a}y, log⁡axn=nlog⁡ax\log_{a}x^n = n\log_{a}x
  • 밑의 변환 공식: log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_{a}b = \frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}
풀이 공간

WORKSPACE

첫 번째 조건 log⁡ab=3\log_{a}b=3 에서 로그의 정의에 의해 b=a3b = a^3 이다.

두 번째 조건 log⁡3ba=12\log_{3}\frac{b}{a}=\frac{1}{2} 에 b=a3b=a^3 을 대입하면
log⁡3a3a=log⁡3a2=2log⁡3a=12\log_{3}\frac{a^3}{a} = \log_{3}a^2 = 2\log_{3}a = \frac{1}{2}
따라서 log⁡3a=14\log_{3}a = \frac{1}{4} 이고 a=314a=3^{\frac{1}{4}} 이다.
구하고자 하는 값 log⁡9ab\log_{9}ab 를 밑의 변환 공식을 이용해 정리하면
log⁡9ab=log⁡3ablog⁡39=log⁡3a+log⁡3b2\log_{9}ab = \frac{\log_{3}ab}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}a + \log_{3}b}{2}
이때 b=a3b=a^3 이므로 log⁡3b=log⁡3a3=3log⁡3a\log_{3}b = \log_{3}a^3 = 3\log_{3}a 이다.
log⁡9ab=log⁡3a+3log⁡3a2=4log⁡3a2=2log⁡3a\log_{9}ab = \frac{\log_{3}a + 3\log_{3}a}{2} = \frac{4\log_{3}a}{2} = 2\log_{3}a
log⁡3a=14\log_{3}a = \frac{1}{4} 을 대입하면
2×14=122 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

논리적 요약 및 정답

로그의 정의를 통해 변수 간 관계를 확립하고,
밑 변환 공식을 통해 계산을 효율화하여 정답을 도출함.

정답: ②