2026학년도 대학수학능력시험 문제지
수학 영역

8. sin⁡θ+3cos⁡θ=0\sin\theta + 3\cos\theta = 0 이고 cos⁡(π−θ)>0\cos(\pi-\theta) > 0 일 때, sin⁡θ\sin\theta 의 값은? [3점]

① 31010\frac{3\sqrt{10}}{10}② 105\frac{\sqrt{10}}{5}③ 00④ −105-\frac{\sqrt{10}}{5}⑤ −31010-\frac{3\sqrt{10}}{10}
주요 개념
  • 삼각함수의 각 변환: cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta
  • 탄젠트의 정의: tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
  • 사분면에 따른 부호: 올(All) - 사(Sin) - 탄(Tan) - 코(Cos)
풀이 공간

WORKSPACE

주어진 등식 sin⁡θ+3cos⁡θ=0\sin\theta + 3\cos\theta = 0 의 양변을 cos⁡θ\cos\theta 로 나누면
sin⁡θcos⁡θ+3=0  ⟹  tan⁡θ=−3\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + 3 = 0 \implies \tan\theta = -3
tan⁡θ<0\tan\theta < 0 이므로 동경 θ\theta는 제2사분면 또는 제4사분면에 위치한다.

부호 조건 cos⁡(π−θ)>0\cos(\pi-\theta) > 0 을 각 변환 성질을 이용해 정리하면
cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ>0  ⟹  cos⁡θ<0\cos(\pi-\theta) = -\cos\theta > 0 \implies \cos\theta < 0
tan⁡θ<0\tan\theta < 0 이고 cos⁡θ<0\cos\theta < 0 이므로 동경 θ\theta는 제2사분면의 각이다.
tan⁡θ=−3\tan\theta = -3 이므로 동경의 좌표를 (−1,3)(-1, 3) 으로 둘 수 있다.
이때 원점으로부터의 거리 r=(−1)2+32=10r = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10} 이다.
제2사분면에서 sin⁡θ>0\sin\theta > 0 이므로
sin⁡θ=310=31010\sin\theta = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}

논리적 요약 및 정답

조건식을 통해 탄젠트 값을 구하고 각 변환으로 사분면을 확정하여,
삼각비의 부호와 비율을 이용해 사인 값을 도출함.

정답: ①