2026학년도 대학수학능력시험 문제지
수학 영역

9. 양수 aa에 대하여 함수 f(x)f(x)를 f(x)=x3+3ax2−9a2x+4f(x)=x^{3}+3ax^{2}-9a^{2}x+4 라 하자. 직선 y=5y=5가 곡선 y=f(x)y=f(x)에 접할 때, f(2)f(2)의 값은? [4점]

① 1111② 1212③ 1313④ 1414⑤ 1515

f(x)=x3+3ax2−9a2x+4f(x) = x^{3} + 3ax^{2} - 9a^{2}x + 4

함수 f(x)f(x)에 대하여 직선 y=5y=5가 곡선 y=f(x)y=f(x)에 접할 때

xyy = 5접점Oy = f(x)

[참고 그래프: y=f(x)y=f(x)와 접선 y=5y=5의 관계]

주요 개념
  • 도함수의 활용 (극대·극소): f′(x)=0f'(x)=0인 지점에서 극값이 발생할 수 있음.
  • 접선의 조건: 상수함수 y=ky=k가 곡선에 접하면 해당 점은 극대점 또는 극소점임.
  • 미지수 결정: 양수 aa 조건을 확인하여 모순이 없는 값을 선택.
풀이 공간

WORKSPACE

1. 도함수 구하기 및 극점 확인
f(x)=x3+3ax2−9a2x+4f(x) = x^3 + 3ax^2 - 9a^2x + 4를 미분하면,
f′(x)=3x2+6ax−9a2=3(x+3a)(x−a)f'(x) = 3x^2 + 6ax - 9a^2 = 3(x+3a)(x-a)
f′(x)=0f'(x)=0에서 x=−3ax = -3a 또는 x=ax = a이다. 이때 a>0a > 0이므로 삼차함수의 그래프 개형상
x=−3ax = -3a에서 극댓값, x=ax = a에서 극솟값을 가진다.

2. 접선 조건(y=5y=5) 분석
직선 y=5y=5가 곡선 y=f(x)y=f(x)에 접하려면 극댓값 또는 극솟값이 5여야 한다.
(i) 극솟값 f(a)=5f(a) = 5인 경우:
f(a)=a3+3a3−9a3+4=−5a3+4=5f(a) = a^3 + 3a^3 - 9a^3 + 4 = -5a^3 + 4 = 5
−5a3=1  ⟹  a3=−1/5-5a^3 = 1 \implies a^3 = -1/5. 이는 a>0a > 0 조건에 위배된다.
(ii) 극댓값 f(−3a)=5f(-3a) = 5인 경우:
f(−3a)=(−3a)3+3a(−3a)2−9a2(−3a)+4=−27a3+27a3+27a3+4=5f(-3a) = (-3a)^3 + 3a(-3a)^2 - 9a^2(-3a) + 4 = -27a^3 + 27a^3 + 27a^3 + 4 = 5
27a3+4=5  ⟹  27a3=1  ⟹  a3=1/2727a^3 + 4 = 5 \implies 27a^3 = 1 \implies a^3 = 1/27. 즉, a=1/3a = 1/3 이다.

3. 함숫값 f(2)f(2) 계산
확정된 a=1/3a = 1/3을 대입하면 함수식은 다음과 같다.
f(x)=x3+x2−x+4f(x) = x^3 + x^2 - x + 4
따라서 f(2)=23+22−2+4=8+4−2+4=14f(2) = 2^3 + 2^2 - 2 + 4 = 8 + 4 - 2 + 4 = 14

논리적 요약 및 정답

도함수를 통해 극점의 위치를 찾고, 양수 aa 조건을 만족하는
접선 조건(극댓값=5)을 이용하여 함수 f(x)f(x)를 확정함.

정답: ④ 14