유형 02 [하] Q1 상세 해설

Q1. 다음 극한값을 구하시오.

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) $

Step 1. 유리화 진행

분모를 $ 1 $로 보고 분자의 켤레식인 $ \sqrt{x^2+x}+x $를 분모와 분자에 곱합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x}-x)(\sqrt{x^2+x}+x)}{\sqrt{x^2+x}+x} $

Step 2. 식 정리

분자를 합차 공식을 이용해 정리하면:
$ (x^2 + x) - x^2 = x $
따라서 식은 $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} $가 됩니다.

Step 3. 결과 도출

분모와 분자를 최고차항인 $ x $로 나누면:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $
최종 정답은 $ \frac{1}{2} $입니다.