유형 02 [하] Q3 상세 해설

Q3. 다음 극한값을 구하시오.

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sqrt{x}(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) $

Step 1. 괄호 안 유리화

괄호 안의 식을 유리화합니다.
$ \displaystyle \sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} $

Step 2. 식 재구성

원래 식에 대입하면:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} $

Step 3. 극한값 계산

분모, 분자를 $ \sqrt{x} $로 나누면:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} $
최종 정답은 $ \frac{1}{2} $입니다.