Q3. 다음 극한값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3} $
Step 1. 부정형 확인 $ x = 1 $을 대입하면 분자 $ = \sqrt{4}-2 = 0 $, 분모 $ = \sqrt{9}-3 = 0 $으로 $ \frac{0}{0} $ 꼴입니다.
Step 2. 분자·분모 각각 유리화분자·분모에 각각의 켤레식을 동시에 곱하기 위해, 다음과 같이 변환합니다.
분자·분모에 각각 켤레식으로 곱하면:
분자: $ (\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2) = (x+3)-4 = x-1 $
분모: $ (\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3) = (x+8)-9 = x-1 $
분자: $ (\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2) = (x+3)-4 = x-1 $
분모: $ (\sqrt{x+8}-3)(\sqrt{x+8}+3) = (x+8)-9 = x-1 $
$ \displaystyle \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3} = \frac{(x-1)/(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)/(\sqrt{x+8}+3)} = \frac{\sqrt{x+8}+3}{\sqrt{x+3}+2} $
Step 3. 극한값 도출 약분된 식에 $ x=1 $을 대입합니다.
$ \displaystyle \frac{\sqrt{9}+3}{\sqrt{4}+2} = \frac{3+3}{2+2} = \frac{6}{4} = \mathbf{\frac{3}{2}} $
정답은 $ \mathbf{\dfrac{3}{2}} $입니다.