Q1. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(2x+1)(x-3)}{ax^2+5} = 2 $
Step 1. 분자 전개 및 차수 확인분자를 전개하면 다음과 같습니다.
$ (2x+1)(x-3) = 2x^2 - 6x + x - 3 = 2x^2 - 5x - 3 $
분자가 $ 2 $차식이므로, 극한값이 $ 2 $로 수렴하려면 분모 역시 $ 2 $차식이어야 합니다.
분모와 분자의 차수가 같을 때, 극한값은 최고차항의 계수의 비와 같습니다.
분자의 $ x^2 $ 계수 : $ 2 $
분모의 $ x^2 $ 계수 : $ a $
계수의 비인 $ \frac{2}{a} $가 극한값 $ 2 $와 같아야 하므로:
$ \frac{2}{a} = 2 \implies a = 1 $
따라서 정답은 $ 1 $입니다.