유형 01 [중] Q2 상세 해설

Q2. 다음 극한값을 구하시오.

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x) $

Step 1. 분자 유리화

분모를 $ 1 $로 보고, 분자·분모에 켤레식인 $ \sqrt{x^2+4x} + x $를 곱합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+4x} - x)(\sqrt{x^2+4x} + x)}{\sqrt{x^2+4x} + x} $
$ \displaystyle = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+4x) - x^2}{\sqrt{x^2+4x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x} + x} $

Step 2. 분모의 최고차항으로 나누기

분모의 최고차항인 $ x $로 분자·분모를 나눕니다.
(루트 안에서는 $ x^2 $으로 나눕니다.)
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{4x}{x^2}} + \frac{x}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{x}} + 1} $

Step 3. 극한값 도출

$ x \to \infty $일 때 $ \frac{4}{x} \to 0 $이므로:
$ \displaystyle \frac{4}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{4}{2} = 2 $
따라서 정답은 $ 2 $입니다.