Q3. 다음 무리함수가 포함된 극한의 수렴값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{2x-1} $
Step 1. 분모의 최고차항 확인분모의 최고차항은 $ x $ (1차)입니다. 분자의 최고차항도 $ \sqrt{x^2} = x $ (1차)이므로 차수가 동일함을 알 수 있습니다.
Step 2. 분자·분모를 x로 나누기분자·분모를 $ x $로 나눕니다. (루트 안은 $ x^2 $으로 나눕니다.)
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}} + \frac{x}{x}}{\frac{2x}{x} - \frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} + 1}{2 - \frac{1}{x}} $
$ x \to \infty $일 때 $ \frac{1}{x}, \frac{1}{x^2} \to 0 $이므로:
$ \displaystyle \frac{\sqrt{1+0} + 1}{2-0} = \frac{2}{2} = 1 $
따라서 극한값은 $ 1 $입니다.