Q1. 다음 등식을 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax + 1} - \sqrt{x^2 - 4x}) = 3 $
Step 1. 유리화 및 식 정리 분자의 켤레식을 곱하면:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + ax + 1) - (x^2 - 4x)}{\sqrt{x^2 + ax + 1} + \sqrt{x^2 - 4x}} $
분자는 $ (a+4)x + 1 $가 됩니다.
분모와 분자를 최고차항인 $ x $로 나누면:
$ \displaystyle \frac{a+4}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \frac{a+4}{2} $
주어진 극한값이 $ 3 $이므로:
$ \displaystyle \frac{a+4}{2} = 3 \implies a+4 = 6 \implies a = 2 $
따라서 정답은 $ a = 2 $입니다.