Q3. 다음 등식을 만족시키는 상수 $a$의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + ax + 3} - x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = 2 $
Step 1. 분자/분모 각각 유리화 팁 분자의 극한은 $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ax+3}{\sqrt{x^2+ax+3}+x} $로 정리되므로 극한값은 $ \frac{a}{2} $입니다.
분모의 극한은 $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} $로 정리되므로 극한값은 $ \frac{2}{2} = 1 $입니다.
따라서 전체 식의 극한값 $ L $은:
$ \displaystyle L = \frac{a/2}{1} = \frac{a}{2} $
$ \displaystyle \frac{a}{2} = 2 \implies a = 4 $
따라서 정답은 $ a = 4 $입니다.