Q1. 다항함수 $ f(x) $가 다음 두 조건을 만족시킬 때, $ f(2) $의 값을 구하시오.
(가) $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{3x^2 + x - 1} = 1 $
(나) $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 4 $
Step 1. (가)를 통한 함수 형태 파악 (나) $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 4 $
분모가 $ 2 $차 함수이므로, $ f(x) $도 $ 2 $차 함수여야 합니다.
최고차항 계수의 비가 $ 1 $이므로 $ f(x) = 3x^2 + ax + b $ 꼴입니다.
$ x \to 1 $일 때 분모가 $ 0 $이므로 $ f(1)=0 $입니다.
따라서 $ f(x) = 3(x-1)(x-k) $ 꼴로 둘 수 있습니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} 3(x-k) = 3(1-k) = 4 \implies 1-k = 4/3 \implies k = -1/3 $
함수는 $ f(x) = 3(x-1)(x+1/3) = (x-1)(3x+1) $이 됩니다.
따라서 $ f(2) = (2-1)(3\cdot 2 + 1) = 7 $입니다.