Q2. 다항함수 $ f(x) $에 대하여 다음이 성립할 때, $ f(3) $의 값을 구하시오.
(가) $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^3}{x^2} = -2 $
(나) $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 10 $
Step 1. 함수 구조 파악 (나) $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 10 $
(가) 조건에 의해 $ f(x) $는 $ x^3 - 2x^2 + ax + b $ 형태여야 합니다.
Step 2. 인수 정리 적용(나) 조건에 의해 $ f(2) = 0 $이므로:
$ 8 - 8 + 2a + b = 0 \implies b = -2a $
따라서 $ f(x) = x^3 - 2x^2 + ax - 2a = x^2(x-2) + a(x-2) = (x-2)(x^2 + a) $가 됩니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 2} (x^2 + a) = 4 + a = 10 \implies a = 6 $
$ f(x) = (x-2)(x^2 + 6) $이므로 $ f(3) = (3-2)(9 + 6) = 15 $입니다.