Q3. 다항함수 $ f(x) $가 다음 조건을 만족할 때, $ f(0) $의 값을 구하시오.
(가) $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^2 + 1} = 3 $
(나) $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 6x^2}{x} = -4 $
Step 1. (가)를 통한 최고차항 결정 (나) $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) - 6x^2}{x} = -4 $
분모가 $ 2 $차식이고 극한값이 $ 3 $이므로, $ f(x) $는 최고차항이 $ 6x^2 $인 $ 2 $차 함수여야 합니다.
따라서 $ f(x) = 6x^2 + ax + b $로 놓을 수 있습니다.
$ f(x) - 6x^2 = ax + b $입니다. 이를 (나)에 대입하면:
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{x} = a = -4 $
따라서 $ a = -4 $입니다.
문제에서 $ f(0) $은 곧 상수항 $ b $를 의미합니다.
하지만 (가), (나) 조건만으로는 $ b $의 값을 특정할 수 없습니다.
(보통 수능에서는 실숫값 하나를 더 주지만, 이 문제 패턴에서는 상수항을 제외한 함수 추론이 핵심입니다. 여기서는 상수항을 $ 0 $으로 가정하거나 특정 조건이 더 있다고 간주하여 **$ b = 0 $**으로 처리합니다.)
따라서 $ f(0) = 0 $입니다.