유형 03 [하] Q1 상세 해설

Q1. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $a$의 값을 구하시오.

$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{ax + 3}{4x - 1} = 2 $

Step 1. 극한의 형태 확인

$ x \to \infty $일 때 분모와 분자가 모두 무한대($ \infty/\infty $)로 발산하는 형태입니다.

Step 2. 차수 및 계수 비교

분모가 $ 1 $차식이므로, 극한값이 $ 0 $이 아닌 상수가 되려면 분자도 $ 1 $차식이어야 합니다.
차수가 같을 때 극한값은 최고차항의 계수의 비로 정해집니다.

Step 3. 계수 $a$ 구하기

분모의 최고차항 계수는 $ 4 $, 분자의 최고차항 계수는 $ a $이므로:
$ \displaystyle \frac{a}{4} = 2 \implies a = 8 $
따라서 정답은 $ 8 $입니다.