Q3. 다음 등식이 성립하도록 하는 양수 $ a $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + ax} - x) = 3 $
Step 1. 유리화 진행$ \infty - \infty $ 꼴이므로 분자를 유리화합니다.
$ \displaystyle \frac{(\sqrt{x^2+ax}-x)(\sqrt{x^2+ax}+x)}{\sqrt{x^2+ax}+x} = \frac{ax}{\sqrt{x^2+ax}+x} $
분모의 최고차항 $ x $로 나누어 계수를 비교합니다.
분모의 최고차항($ x $) 계수 합 : $ \sqrt{1} + 1 = 2 $
분자의 최고차항($ x $) 계수 : $ a $
계수비에 의한 극한값은 $ \frac{a}{2} $입니다.
$ \frac{a}{2} = 3 \implies a = 6 $입니다.