Q1. 다음이 성립할 때, 상수 $ a $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+ax}-1}{x} = 2 $
Step 1. 부정형 확인 및 유리화 $ x=0 $을 대입하면 분자 $ = \sqrt{1}-1 = 0 $, 분모 $ = 0 $으로 $ \frac{0}{0} $ 꼴입니다.
분자의 켤레식 $ (\sqrt{1+ax}+1) $을 분자·분모에 곱합니다.
$ \displaystyle \frac{(\sqrt{1+ax}-1)(\sqrt{1+ax}+1)}{x(\sqrt{1+ax}+1)} = \frac{(1+ax)-1}{x(\sqrt{1+ax}+1)} = \frac{ax}{x(\sqrt{1+ax}+1)} $
Step 2. 약분 후 극한값 설정 $ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{a}{\sqrt{1+ax}+1} = \frac{a}{\sqrt{1}+1} = \frac{a}{2} = 2 $
Step 3. $ a $ 결정 $ \frac{a}{2} = 2 \implies \mathbf{a = 4} $
정답은 $ \mathbf{4} $입니다.