Q3. 상수 $ a, b $에 대하여 다음이 성립할 때, $ a+b $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{ax+b}-2}{x-1} = 3 $
Step 1. 극한 존재 조건으로 방정식 ① 세우기 $ x \to 1 $일 때 분모가 $ (x-1) \to 0 $이므로, 극한이 유한값으로 존재하려면 분자도 반드시 $ 0 $이어야 합니다.
$ \sqrt{a+b} - 2 = 0 \implies \mathbf{a + b = 4}$ … ①
Step 2. 유리화로 극한값 표현 ① 조건 하에서 분자를 유리화합니다. 분자의 켤레식 $ (\sqrt{ax+b}+2) $를 곱합니다.
$ \displaystyle \frac{(ax+b)-4}{(x-1)(\sqrt{ax+b}+2)} $
① 에 의해 $ a+b=4 $이므로 분자는 $ ax+b-4 = ax+b-(a+b) = a(x-1) $로 정리됩니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{a(x-1)}{(x-1)(\sqrt{ax+b}+2)} = \frac{a}{\sqrt{a+b}+2} = \frac{a}{2+2} = \frac{a}{4} = 3 $
Step 3. $ a, b $ 결정 및 $ a+b $ 계산 $ \frac{a}{4} = 3 \implies \mathbf{a = 12} $
① 에 대입하면 $ b = 4 - a = 4 - 12 = \mathbf{-8} $
$ a + b = 12 + (-8) = \mathbf{4} $
정답은 $ \mathbf{4} $입니다.