Q1. 다항함수 $ f(x) $가 다음 두 조건을 만족시킬 때, $ f(3) $의 값을 구하시오.
(가) $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1 $ (나) $ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 3 $
Step 1. (가)를 통한 차수와 최고차항 결정 $ x \to \infty $일 때 극한값이 $ 1 $으로 존재하므로, $ f(x) $는 $ x^2 $으로 시작하는 이차함수여야 합니다.
$ f(x) = x^2 + ax + b $
Step 2. (나)를 통한 인수와 관계식 도출 $ x \to 2 $일 때 분모가 $ 0 $이므로 분자도 $ 0 $이어야 합니다. $ f(2) = 0 $이므로 $ f(x) $는 $ (x-2) $를 인수로 가짐을 알 수 있습니다.
$ f(x) = (x-2)(x+k) $ 로 두면,
최고차항 계수가 $ 1 $이므로 전개했을 때 $ f(x) = x^2 + (k-2)x - 2k $ 가 됩니다.
Step 3. 상수 $ k $ 결정 및 $ f(3) $ 계산 최고차항 계수가 $ 1 $이므로 전개했을 때 $ f(x) = x^2 + (k-2)x - 2k $ 가 됩니다.
조건 (나)의 극한값에 대입하여 $ k $를 찾습니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+k)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+k) = 2+k = 3 \implies \mathbf{k = 1} $
따라서 완성된 함수는:
$ f(x) = (x-2)(x+1) $
$ f(3) = (3-2)(3+1) = 1 \times 4 = \mathbf{4} $
$ f(3) = (3-2)(3+1) = 1 \times 4 = \mathbf{4} $
정답은 $ \mathbf{4} $입니다.