Q2. 삼차함수 $ f(x) $가 다음 조건을 만족시킬 때, $ f(-1) $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 2 $, $ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 4 $
Step 1. 인수를 이용한 함수 식 세우기 $ x \to 0, x \to 1 $일 때 극한값이 존재하므로 $ f(0)=0, f(1)=0 $입니다. 삼차함수 $ f(x) $는 $ x(x-1) $을 인수로 가지므로 다음과 같이 설정할 수 있습니다.
$ f(x) = x(x-1)(ax + b) $
Step 2. 극한 조건을 통한 미지수 $ a, b $ 결정 첫 번째 극한 조건 대입:
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x(x-1)(ax + b)}{x} = \lim_{x \to 0} (x-1)(ax + b) = -b = 2 \implies \mathbf{b = -2} $
두 번째 극한 조건 대입:
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x(x-1)(ax - 2)}{x-1} = \lim_{x \to 1} x(ax - 2) = a - 2 = 4 \implies \mathbf{a = 6} $
Step 3. $ f(x) $ 완성 및 최종값 계산 완성된 삼차함수는 다음과 같습니다.
$ f(x) = x(x-1)(6x - 2) $
$ x = -1 $을 대입하여 마무리합니다.
$ f(-1) = (-1)(-2)(-6-2) = 2 \times (-8) = \mathbf{-16} $
정답은 $ \mathbf{-16} $입니다.