Q3. 최고차항의 계수가 $ 1 $인 다항함수 $ f(x) $가 다음 조건을 만족시킬 때, $ a + f(1) $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2+2} = a $
$ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 5 $
Step 1. 무한대 극한을 통한 $ a $와 차수 결정 $ \displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x-a} = 5 $
최고차항 계수가 $ 1 $인 다항함수 $ f(x) $에 대하여, 무한대 극한값이 실수 $ a $로 존재하려면 $ f(x) $는 $ 2 $차 함수여야 합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + \cdots}{x^2+2} = 1 \implies \mathbf{a = 1} $
Step 2. 상수 극한과 인수 정리 적용 $ a=1 $이므로 두 번째 극한 식은 다음과 같습니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 5 $
$ x \to 1 $일 때 분모가 $ 0 $이므로 $ f(1)=0 $입니다. $ f(x) $는 $ (x-1) $을 인수로 가지며 최고차항 계수가 $ 1 $인 이차함수이므로 다음과 같이 설성합니다.
$ f(x) = (x-1)(x+k) $
Step 3. 최종 식 완성 및 정답 도출 준식에 대입하여 $ k $를 구합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+k)}{x-1} = 1+k = 5 \implies \mathbf{k=4} $
따라서 완성된 함수는 $ f(x) = (x-1)(x+4) $ 이며, 정답은:
$ a = 1, f(1) = 0 $
$ \therefore a + f(1) = 1 + 0 = \mathbf{1} $
$ \therefore a + f(1) = 1 + 0 = \mathbf{1} $
정답은 $ \mathbf{1} $입니다.