Q1. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $ a $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - (a+1)}{x-1} = 3 $
Step 1. 분자의 극한 조건 (0/0 꼴) $ x \to 1 $일 때 분모 $ (x-1) \to 0 $입니다. 극한값이 $ 3 $으로 존재하기 위해서는 분자도 $ 0 $으로 수렴해야 합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} { x^2 + ax - (a+1) } = 1^2 + a(1) - (a+1) = 0 $
*이 식은 $ a $의 값에 관계없이 항상 $ 0 $이 되므로, 분자는 항상 $ (x-1) $을 인수로 가짐을 알 수 있습니다.
Step 2. 분자 인수분해 및 약분분자 $ x^2 + ax - (a+1) $를 인수분해하면 $ (x-1)(x+a+1) $이 됩니다. 이를 식에 대입하여 약분합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+a+1) $
Step 3. 극한값 대입하여 $ a $ 확정 준비된 식에 $ x=1 $을 대입한 결과가 우변의 $ 3 $과 같아야 합니다.
$ 1 + a + 1 = 3 $
$ a + 2 = 3 $
$ \therefore \mathbf{a = \boxed{1}} $