Q2. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $ a $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + a}{x+1} = 2 $
Step 1. 분자의 극한 조건 (0/0 꼴) $ x \to -1 $일 때 분모 $ (x+1) \to 0 $입니다. 극한값이 $ 2 $로 존재하기 위해서는 분자도 $ 0 $으로 수렴해야 합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to -1} (x^2 + 4x + a) = 0 $
Step 2. 상수 $ a $의 값 구하기 분자의 다항식에 $ x = -1 $을 대입하면 결과가 $ 0 $이어야 합니다.
$ (-1)^2 + 4(-1) + a = 0 $
$ 1 - 4 + a = 0 \implies \mathbf{a = 3} $
Step 3. 검산 및 확인 $ 1 - 4 + a = 0 \implies \mathbf{a = 3} $
구한 $ a=3 $을 대입하여 실제 극한값이 $ 2 $가 나오는지 확인합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + 4x + 3}{x+1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x+3)}{x+1} = \lim_{x \to -1} (x+3) = 2 $
따라서 정답은 $ \mathbf{a = \boxed{3}} $입니다.