Q3. 다음 등식을 만족시키는 상수 $ a, b $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - ax + 6}{x-3} = b $
Step 1. 분자의 극한 조건 (0/0 꼴) $ x \to 3 $일 때 분모 $ (x-3) \to 0 $입니다. 극한값 $ b $가 존재하기 위해서는 분자도 $ 0 $으로 수렴해야 합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} (x^2 - ax + 6) = 0 $
Step 2. 상수 $ a $의 값 구하기 다항식에 $ x = 3 $을 대입하여 방정식을 풉니다.
$ 3^2 - a(3) + 6 = 0 $
$ 9 - 3a + 6 = 0 $
$ 15 - 3a = 0 \implies \mathbf{a = 5} $
Step 3. 인수분해 및 극한값 $ b $ 계산 $ 9 - 3a + 6 = 0 $
$ 15 - 3a = 0 \implies \mathbf{a = 5} $
$ a=5 $를 대입하여 식을 정리하고 약분합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 6}{x-3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-2)(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x-2) $
준식에 $ x=3 $을 대입하면:
$ 3 - 2 = 1 \implies \mathbf{b = 1} $
따라서 정답은 $ \mathbf{a = 5, b = 1} $입니다.