Q1. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $ a, b $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+a}-2}{x-2} = b $
Step 1. 분자의 극한 조건 (0/0 꼴) $ x \to 2 $일 때 분모 $ (x-2) \to 0 $입니다. 극한이 존재하려면 분자도 $ 0 $이어야 합니다.
$ \sqrt{2+a} - 2 = 0 \implies \sqrt{2+a} = 2 $
$ 2 + a = 4 \implies \mathbf{a = 2} $
Step 2. 유리화를 통한 식 정리 $ 2 + a = 4 \implies \mathbf{a = 2} $
$ a=2 $를 대입하고 분자를 유리화합니다.
$ \displaystyle \frac{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{(x+2)-4}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} $
$ \displaystyle \frac{x-2}{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+2}+2} $
Step 3. 극한값 $ b $ 계산 정리된 식에 $ x=2 $를 대입합니다.
$ b = \frac{1}{\sqrt{2+2}+2} = \frac{1}{2+2} = \mathbf{\frac{1}{4}} $
따라서 정답은 $ \mathbf{a = 2, b = \frac{1}{4}} $입니다.