Q2. 다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $ a, b $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x+a}-b} = 6 $
Step 1. 분모의 극한 조건 분자가 $ 0 $으로 수렴하고 극한값이 $ 6( \neq 0 ) $이므로 분모도 반드시 $ 0 $이어야 합니다.
$ \sqrt{0+a} - b = 0 \implies \sqrt{a} = b $
Step 2. 식 대입 및 유리화 $ b = \sqrt{a} $를 대입하고 분모를 유리화합니다.
$ \displaystyle \frac{x(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{(\sqrt{x+a}-\sqrt{a})(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})} = \frac{x(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{(x+a)-a} $
$ \displaystyle \frac{x(\sqrt{x+a}+\sqrt{a})}{x} = \sqrt{x+a}+\sqrt{a} $
Step 3. 상수 $ a, b $ 결정 극한값 $ 6 $을 이용하여 $ a $를 구합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x+a}+\sqrt{a}) = 2\sqrt{a} = 6 $
$ \sqrt{a} = 3 \implies \mathbf{a = 9} $
$ \sqrt{a} = 3 \implies \mathbf{a = 9} $
Step 1의 관계식에 따라:
$ b = \sqrt{9} = \mathbf{3} $
따라서 정답은 $ \mathbf{a = 9, b = 3} $입니다.