Q2. 다음 등식을 만족시키는 상수 $ a, b $의 값을 구하시오.
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}+a}{x-1} = b $
Step 1. 분자의 극한 조건 $ x \to 1 $일 때 분모 $ (x-1) \to 0 $입니다. 극한값이 존재하려면 분자도 $ 0 $이어야 합니다.
$ \sqrt{1+3} + a = 0 \implies 2 + a = 0 \implies \mathbf{a = -2} $
Step 2. 유리화 및 식 정리 $ a = -2 $를 대입하고 분자를 유리화합니다.
$ \displaystyle \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} $
$ \displaystyle \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} $
Step 3. 극한값 $ b $ 계산 준비된 식에 $ x=1 $을 대입합니다.
$ b = \frac{1}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{1}{2+2} = \mathbf{\frac{1}{4}} $
따라서 정답은 $ \mathbf{a = -2, b = \frac{1}{4}} $입니다.