[핵심 문제]
다음 극한값을 구하시오.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}$ ($\sqrt{x^2 + 2x} - x$)
💡 해결 전략 (클릭하여 확인)
이 문제는 $ \infty - \infty $ 꼴입니다. 루트를 벗겨내기 위해 분자의 유리화를 시도해야 합니다. 분모에 $ 1 $이 있다고 생각하고 켤레식을 분모, 분자에 곱해 보세요.
📝 단계별 풀이 (마지막에 열어보세요!)
Step 1. 유리화 진행
분모와 분자에 $ \sqrt{x^2+2x} + x $를 곱합니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+2x}-x)(\sqrt{x^2+2x}+x)}{\sqrt{x^2+2x}+x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+2x) - x^2}{\sqrt{x^2+2x}+x} $
Step 2. 식 정리
분자를 정리하면 $ 2x $가 남습니다.
$ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x} $
Step 3. 최고차항 계수 비교
분모의 최고차항은 $ \sqrt{x^2} = x $와 $ x $이므로 합치면 $ 2x $급입니다.
따라서 $ \text{극한값} = \frac{2}{1+1} = 1 $ 입니다.