[핵심 문제]
다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $ a, b $의 값을 구하시오.
$\displaystyle \lim_{x \to 1}$ $ \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 4 $
💡 해결 전략 (클릭하여 확인)
극한값이 실수로 존재하는데 분모가 $ 0 $으로 갑니다. 따라서 분자도 $ x=1 $에서 반드시 $ 0 $이 되어야 함을 이용해 미지수 사이의 관계를 먼저 파악합니다.
📝 단계별 풀이 (마지막에 열어보세요!)
Step 1. 분자 극한 조건
$ x o 1 $일 때 $ 1 + a + b = 0 \implies b = -a - 1 $입니다.
Step 2. 식 대입 및 약분
$ b $ 대신 $ -a-1 $을 넣고 인수분해하면:
$ \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1} = x+a+1 $
Step 3. 최종값 도출
$ \displaystyle \lim_{x \to 1} (x+a+1) = a+2 = 4 $
따라서 $ a = 2, b = -3 $ 입니다.