[핵심 문제]
다음 등식이 성립하도록 하는 상수 $ a, b $의 값을 구하시오.
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}$ \frac{ax^3 + bx^2 + 5}{x^2 - 1} = 3
💡 해결 전략 (클릭하여 확인)
극한값이 $ 3 $으로 수렴하는데 분모는 $ 2 $차식입니다. 만약 분자가 $ 3 $차식이라면 극한은 무한대가 되어야 하므로, 분자의 3차항은 반드시 제거되어야 합니다. 즉, $ a=0 $임을 먼저 파악하세요.
📝 단계별 풀이 (마지막에 열어보세요!)
Step 1. 차수 결정
분모가 2차식이고 극한값이 0이 아닌 상수이므로 분자도 2차식이어야 합니다.
따라서 $ x^3 $의 계수인 $ a $는 0입니다.
Step 2. 계수 비교
$ a=0 $이면 식은 $ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{bx^2 + 5}{x^2 - 1} $이 됩니다.
이때 극한값은 최고차항 계수의 비인 $ \frac{b}{1} $입니다.
Step 3. 최종값 도출
$ b = 3 $ 이므로 정답은 $ a=0, b=3 $ 입니다.