[핵심 문제]
두 함수의 곱이 특정 지점에서 연속이 되도록 하는 미지수를 구하시오.
$$ f(x) = \begin{cases} x+2 & (x < 1) \\ x^2-4 & (x \ge 1) \end{cases} $$
이고, $g(x) = x-a$일 때,
$f(x)g(x)$가 $x=1$에서 연속이 되기 위한 $a$의 값은?
💡 해결 전략 (클릭하여 확인)
함수 $f(x)$가 $x=1$에서 불연속(좌극한 3, 우극한 -3)입니다. 이 불연속을 '상쇄'하려면 연속 함수인 $g(x)$가 $x=1$에서 **반드시 0**이 되어야 합니다.
📝 단계별 풀이
Step 1. $f(x)$의 극한 확인
- 좌극한 ($x \to 1^-$): $f(x) \to 1+2 = 3$
- 우극한 ($x \to 1^+$): $f(x) \to 1-4 = -3$
즉, $f(x)$는 $x=1$에서 불연속입니다.
Step 2. $f(x)g(x)$의 연속 조건
곱한 함수가 연속이려면 (좌극한) = (우극한)이어야 하므로:
$3 \times g(1) = -3 \times g(1)$
이 식이 성립하려면 오직 $g(1) = 0$인 경우뿐입니다.
Step 3. 상수 $a$ 구하기
$g(1) = 1 - a = 0$ 이므로
따라서 **$a = 1$** 입니다.